概统常见分布与数值特征

常见分布

连续型

Distribution	密度函数	分布函数	E(x)	D(x)
$U(a,b)$	$\frac{1}{b-a}$ $(a<x<b)$	$\frac{x-a}{b-a}$ $a<x<b$	$\frac{a+b}{2}$	$\frac{(b-a)^2}{12}$
$E(\lambda)$	$\lambda e^{-\lambda x}$ $(x>0)$	$1-e^{-\lambda x}$	$\frac{1}{\lambda}$	$\frac{1}{\lambda^2}$
$\Gamma(\alpha,\beta)$	$\frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x}$		$\frac{\alpha}{\beta}$	$\frac{\alpha}{\beta^2}$

$$\Gamma(n)=\int_0^{\infty}x^{n-1}e^{-x}dx=(n-1)!$$

离散型

Distribution	分布率	E(x)	D(x)
$B(n,p)$	$C_n^kp^k(1-p)^{n-k}$	$np$	$np(1-p)$
$P(\lambda)$	$\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$	$\lambda$	$\lambda$
$G(p)$	$(1-p)^kp$	$\frac{1}{p}$	$\frac{1-p}{p^2}$

数值特征

Definitions

协方差

$$Cov(X,Y)=E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)]=E(XY)-E(X)E(Y)$$

标准差

$$\sigma=\sqrt{D(X)}$$

相关系数

$$p=\frac{Cov(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}$$

运算

E

满足线性运算(独立时)

D

$D(c)=0$

$D(aX)=a^2D(x)$

$D(X+Y)=D(X)+D(Y)$（独立时）

$D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)$

Cov

$Cov(x,y)=E(XY)-E(X)E(Y)$

$Cov(X,a)=0$

$Cov(aX,bY)=ab\ Cov(X,Y)$

$Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)$

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