拟凸函数的性质

拟凸函数是凸函数的超集，它的限制比凸函数更加宽松。

定义

其任意下水平集是凸集。

$$\{x|\forall a:f(x)<a\} \text{ is convex}$$

或者其凸组合函数值不超过端点函数值。

$$\theta \in [0,1] f(\theta x+(1-\theta)y)\leq \max\{f(x),f(y)\}$$

举个例子$f(x)=\sqrt{|x|}$

性质

一阶条件

$$f(y)\leq f(x) \rightarrow \nabla f(x)^T(y-x)\leq 0$$

补充说明：
$\nabla f(x) $ 是其下水平集的支撑超平面

易混淆-函数的支撑超平面：

梯度方向永远与等值线垂直。

$$y=f(x) \Leftrightarrow 0=g(x,y)=f(x)-y \text{这是一个等值线}$$

$$\nabla g(x,y)=[\nabla f(x),-1]$$

因此，函数的支撑超平面法向量是$[\nabla f(x),-1]$

二阶条件

1. 必要条件

$$f \text{ is quasi-convex} \rightarrow \forall x \in \text{dom} f,y \in R^n: y^T\nabla^2 f(x)y\geq 0$$

2. 充分条件

$$f \text{ is quasi-convex} \leftarrow \forall x \in \text{dom} f,y \in R^n \land y\neq0: y^T\nabla^2 f(x)y > 0$$

ref

https://zhuanlan.zhihu.com/p/131604034