卡方分布
χ2=X12+X22+...+Xn2
其中Xi是独立同分布的标准正态分布。
有χ2∼χ2(n)=Γ(2n,21)
因此
{E(χ2)D(χ2)=n=2n
t分布
t=nχ2XX∼N(0,1),χ2∼χ2(n)
其密度函数是偶函数。当n很大时,t近似服从标准正态分布。
当n=1,E(t)不收敛
当n≥2,E(t)=0
F分布
F=χ22/n2χ12/n1,χ12∼χ2(n1),χ22∼χ2(n2)
称F∼F(n1,n2)
且有F1∼F(n2,n1)
例题
Let X∼t(n), Proof: X2∼F(1,n)
Solve:define Y∼N(0,1),Z∼χ2(n)then X=Z/nYso X2=Z/nY2/1Therefore X2∼F(1,n)