正态分布导出的组合分布

卡方分布

$$\chi^2=X_1^2+X_2^2+...+X_n^2$$

其中$X_i$是独立同分布的标准正态分布。

$$\text{有}\chi^2\sim \chi^2(n)=\Gamma(\frac{n}{2},\frac{1}{2})$$

因此

$$\left\{ \begin{aligned} E(\chi^2)&=n\\ D(\chi^2)&=2n \end{aligned} \right.$$

t分布

$$t=\frac{X}{\sqrt{\frac{\chi^2}{n}}} \qquad X\sim N(0,1),\chi^2\sim \chi^2(n)$$

其密度函数是偶函数。当$n$很大时，$t$近似服从标准正态分布。

当$n=1,E(t)$不收敛

当$n\geq 2,E(t)=0$

F分布

$$F=\frac{\chi^2_1/n_1}{\chi^2_2/n_2},\chi^2_1\sim \chi^2(n_1),\chi^2_2\sim \chi^2(n_2)$$

称$F\sim F(n_1,n_2)$

且有$\frac{1}{F}\sim F(n_2,n_1)$

例题

$$\text{Let }X\sim t(n),\text{ Proof: }X^2\sim F(1,n)$$

$$\begin{aligned} \text{Solve:}\\ &\text{define } Y\sim N(0,1),Z\sim \chi^2(n) \\ &\text{then } X= \frac{Y}{\sqrt{Z/n}}\\ &\text{so }X^2=\frac{Y^2/1}{Z/n}\\ &\text{Therefore }X^2\sim F(1,n) \end{aligned}$$