立体空间

拉格朗日数乘法

求 $f(x,y,z)$ 在 $g(x,y,z)=0$ 条件下的最值

构建函数

$L(x,y,z,\lambda)=f(x,y,z)+\lambda g(x,y,z)$

$令\left\{ \begin{aligned} &\frac{\partial L}{\partial x}=0\\\\ &\frac{\partial L}{\partial y}=0\\\\ &\frac{\partial L}{\partial z}=0\\\\ &\frac{\partial L}{\partial \lambda}=g(x,y,z)=0\\ \end{aligned} \right.$

量

法向量

$f(x,y,z)=0$ 在某点的法向量如下

$\vec{n}=(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z})$

切向量

$f(x,y,z)=0$ 在某点的切向量如下

法一

$考虑\left\{ \begin{aligned} x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t) \end{aligned} \right.$

$那么切向量\vec{m}=( \frac{\partial x}{\partial t}, \frac{\partial y}{\partial t}, \frac{\partial z}{\partial t})$

这种解释很直观，但是这个表达式不易求得。

法二

观察 $f(x,y,z)=0$ ，对两边同时微分，
注意到

$\begin{aligned} LHS=d\ f&=\frac{\partial f}{\partial x} dx+ \frac{\partial f}{\partial y}dy+ \frac{\partial f}{\partial z}dz\\ &=(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}) \cdot(dx,dy,dz)\\ &=RHS=d0=0 \end{aligned}$

不难发现

$(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}) \cdot(dx,dy,dz)=0$

因此切向量 $\vec{m}=(dx,dy,dz)$ ，而且我们还发现：切向量有无数条。

梯度与散度

梯度是向量，且与该处切线垂直
散度是标量

$div\ f(x,y,z)= \frac{\partial f}{\partial x}+ \frac{\partial f}{\partial y}+ \frac{\partial f}{\partial z}$

$grad\ f(x,y,z)= (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z})$

法向量&梯度

看起来法向量和梯度的表达式相同，但实际上这两个量的含义差别很大，或者说法向量是梯度的特例。

上文中的梯度更像是对于一个四维空间 $(w,x,y,z)$ 中的函数 $w=f(x,y,z)$ 而言的，表达了自变量如何变化能使因变量 $w$ 变化得最快，自变量变化的方向一定与该处垂直。

旋度

旋度的作用对象是一个向量

$vector=(P,Q,R)//P,Q,R依赖于(x,y,z)$

$rot\ vector= \left|\begin{array}{cccc} \textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y}& \frac{\partial}{\partial z}\\ P & Q & R \end{array}\right|$

质心

对于x轴有，其他轴同理

$\bar x M=\bar x \int_a^b m dx=\int_a^b x m dx$

其中m指代在x处的截面或截线

积分

常用的积分变换公式

格林公式

闭曲线 $\Leftrightarrow$ 曲线围成的曲面

格林公式提供了一座桥梁，使得闭曲线L积分与该曲线围成的曲面D的积分有了关系。这个关系存在于二维平面。

$\oint_L Pdx+Qdy=\iint_D \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}d \sigma$

高斯公式

闭曲面 $\Leftrightarrow$ 曲面围成的空间

高斯公式像是升了一维的格林公式，提供了闭曲面积分与闭曲面围成的空间的积分有了关系

$\oiint_{\sum}Pdydz+Qdxdz+Rdxdy=\iiint_V \frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}dv$

斯托克斯公式

闭曲线 $\Leftrightarrow$ 曲线围成的面积

斯托克斯公式像是增加了一个维度的格林公式

$\oint_L Pdx+Qdy+Rdz=\iint_D \left|\begin{array}{cccc} dydz & dxdz & dxdy \\ \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y}& \frac{\partial}{\partial z}\\ P & Q & R \end{array}\right|$

重积分的技巧

转换坐标系

极坐标（柱面坐标）

$\iint_D f(x,y)dxdy=\int_{\theta_0}^{\theta_1}d\theta \int_{m（\theta）}^{n(\theta)}f(\rho \cos \theta,\rho \sin \theta)\rho d\rho$

其中

$\left\{ \begin{aligned} x&=\rho \cos \theta\\ y&=\rho \sin \theta\\ \end{aligned} \right. \Rightarrow x^2+y^2=\rho^2$

球面坐标

$\iiint_\Omega f(x,y,z)dv=\int_{\varphi_0}^{\varphi_1}d\varphi \int_{\theta_0}^{\theta_1}d\theta\int_{r_0}^{r_1}f(r\sin \varphi \cos \theta,r\sin \varphi \sin \theta,r \cos \varphi)r^2\sin \varphi dr$

其中，

$\left\{ \begin{aligned} &x=r\sin \varphi \cos \theta\\ &y=r\sin \varphi \sin \theta\\ &z=r \cos \varphi \end{aligned} \right. \Rightarrow x^2+y^2+z^2=r^2$

改变积分顺序

有些积分如下

$\int_0^b dx\int_{n(x)}^{1} f(x,y)dy$

但这样直接积分是非常困难的先对x进行积分，我们可以改变积分的顺序，如下

$\int_0^{1} dy \int _0^{n^{-1}(y)}f(x,y)dx$

割补法

对于二、三重积分，当积分区间过于抽象，可以使用割补的方式将抽象的区间转换成两个容易积分的区间（转化为其他坐标系）

使用积分公式进行转换

斯托克斯公式
高斯公式
格林公式

对称性

在大多数情况下，利用好对称性能在很大程度上减小积分的难度。

轮换对称性

在某些区间内，某些变量是对称的,换句话来说，就是在这个时候，变量是等效的，可以互换的。

镜像对称性

$\begin{aligned} eg.\qquad D:x^2+y^2=r^2 \qquad \iint_D xy dxdy=0\\ \end{aligned}$

例题分析

1

$设L为x^2+y^2+z^2=4与x=y的交线，则\oint_L(2y^2+z^2)ds=?$

$\begin{aligned} 解：& x=y \Rightarrow x^2=y^2\\ &\begin{aligned} I&=\oint_L(2y^2+z^2)ds\\ & =\oint_L(x^2+y^2+z^2)ds\\ &=\oint_L 4ds\\ \end{aligned} &也就是说，I=L的长度*4=16\pi \end{aligned}$

这就是轮换对称性的应用(x与y等价)

2

$\begin{aligned} & 设\Sigma 由锥面 z=\sqrt{x^2+y^2}和上半球面z=\sqrt{4-x^2-y^2}组成，方向为外侧， \\ &计算曲线积分\iint_{\sum} \cos (y^2+z)dydz+ (sx^2y+y^3)dzdx+(xy+z^3)dxdy \end{aligned}$

$\begin{aligned} 解： I&=\iiint_{\Omega}(3x^2+3y^2+3z^2)dv(高斯公式)\\ &=3\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{\frac{\pi}{4}}d\varphi\int_0^2 r^2r^2\sin \varphi dr（变换积分坐标系）\\ &=\frac{96\pi}{5}(2-\sqrt{2}) \end{aligned}$