参数估计
结论
矩估计的参数具有传递性/极大似然不具有
正态分布极大似然估计
总体方差σ2的极大似然估计量为σ2^=n1∑i=1n(Xi−μ)2
正态分布的置信区间
X=n1∑i=1nXi服从正态分布,且X∼N(μ,nσ2)
正态分布均值的置信区间(方差已知)
Z=nσX−μ,经过标准化后,Z就服从标准正态分布N(0,1)
也就是说−z1−α/2=zα/2≤Z≤z1−α/2=−zα/2
(X−z1−α/2nσ,X+z1−α/2nσ)
正态分布方差的置信区间(均值已知)
我们构造一个统计量χ2=σ21∑i=1n(Xi−μ)2,该统计量服从自由度为n的χ2分布,即χ2∼χ2(n)。
由χ1−α/22(n)≤σ21∑i=1n(Xi−μ)2≤χα/22(n),可得:
χα/22(n)∑i=1n(Xi−μ)2≤σ2≤χ1−α/22(n)∑i=1n(Xi−μ)2
正态分布的置信区间(均值和方差都未知)
对于均值构
我们构造统计量T=nSX−μ,该统计量服从自由度为n−1的t分布,即T∼t(n−1)。
由−tα/2(n−1)≤nSX−μ≤tα/2(n−1),可得:
X−tα/2(n−1)nS≤μ≤X+tα/2(n−1)nS
对于方差我们构造统计量χ2=σ2(n−1)S2,该统计量服从自由度为n−1的χ2分布,即χ2∼χ2(n−1)。
由χ1−α/22(n−1)≤σ2(n−1)S2≤χα/22(n−1)可得:
χα/22(n−1)(n−1)S2≤σ2≤χ1−α/22(n−1)(n−1)S2