参数估计

结论

矩估计的参数具有传递性/极大似然不具有

正态分布极大似然估计

总体方差σ2\sigma^{2}的极大似然估计量为σ2^=1n∑i=1n(Xi−μ)2\hat{\sigma^{2}}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}(X_i-\mu)^2

正态分布的置信区间

X‾=1n∑i=1nXi\overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i服从正态分布，且X‾∼N(μ,σ2n)\overline{X} \sim N(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n})

正态分布均值的置信区间（方差已知）

Z=X‾−μσnZ=\frac{\overline{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}，经过标准化后，ZZ就服从标准正态分布N(0,1)N(0,1)

也就是说−z1−α/2=zα/2≤Z≤z1−α/2=−zα/2-z_{1-\alpha/2}=z_{\alpha/2}\leq Z\leq z_{1-\alpha/2}=-z_{\alpha/2}

(X‾−z1−α/2σn,X‾+z1−α/2σn)(\overline{X}-z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}+z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})

正态分布方差的置信区间（均值已知）

我们构造一个统计量χ2=1σ2∑i=1n(Xi−μ)2\chi^{2} = \frac{1}{\sigma^{2}} \sum_{i = 1}^{n} (X_i - \mu)^2，该统计量服从自由度为nn的χ2\chi^{2}分布，即χ2∼χ2(n)\chi^{2} \sim \chi^{2}(n)。

由χ1−α/22(n)≤1σ2∑i=1n(Xi−μ)2≤χα/22(n)\chi_{1 - \alpha / 2}^{2}(n) \leq \frac{1}{\sigma^{2}} \sum_{i = 1}^{n} (X_i - \mu)^2 \leq \chi_{\alpha / 2}^{2}(n)，可得：

∑i=1n(Xi−μ)2χα/22(n)≤σ2≤∑i=1n(Xi−μ)2χ1−α/22(n)\frac{\sum_{i = 1}^{n} (X_i - \mu)^2}{\chi_{\alpha / 2}^{2}(n)} \leq \sigma^{2} \leq \frac{\sum_{i = 1}^{n} (X_i - \mu)^2}{\chi_{1 - \alpha / 2}^{2}(n)}

正态分布的置信区间（均值和方差都未知）

对于均值构
我们构造统计量T=X‾−μSnT = \frac{\overline{X} - \mu}{\frac{S}{\sqrt{n}}}，该统计量服从自由度为n−1n - 1的tt分布，即T∼t(n−1)T \sim t(n - 1)。

由−tα/2(n−1)≤X‾−μSn≤tα/2(n−1)-t_{\alpha / 2}(n - 1) \leq \frac{\overline{X} - \mu}{\frac{S}{\sqrt{n}}} \leq t_{\alpha / 2}(n - 1)，可得：

X‾−tα/2(n−1)Sn≤μ≤X‾+tα/2(n−1)Sn\overline{X} - t_{\alpha / 2}(n - 1) \frac{S}{\sqrt{n}}\leq \mu \leq \overline{X} + t_{\alpha / 2}(n - 1) \frac{S}{\sqrt{n}}

对于方差我们构造统计量χ2=(n−1)S2σ2\chi^{2} = \frac{(n - 1)S^{2}}{\sigma^{2}}，该统计量服从自由度为n−1n - 1的χ2\chi^{2}分布，即χ2∼χ2(n−1)\chi^{2} \sim \chi^{2}(n - 1)。

由χ1−α/22(n−1)≤(n−1)S2σ2≤χα/22(n−1)\chi_{1 - \alpha / 2}^{2}(n - 1) \leq \frac{(n - 1)S^{2}}{\sigma^{2}} \leq \chi_{\alpha / 2}^{2}(n - 1)可得：

(n−1)S2χα/22(n−1)≤σ2≤(n−1)S2χ1−α/22(n−1)\frac{(n - 1)S^{2}}{\chi_{\alpha / 2}^{2}(n - 1)} \leq \sigma^{2} \leq \frac{(n - 1)S^{2}}{\chi_{1 - \alpha / 2}^{2}(n - 1)}